L3

Cours d'algèbre (L3, D. Harari, Orsay)

Ce cours présente les notions fondamentales d'algèbre de manière assez détaillée, en partant des concepts élémentaires pour arriver à des différentes notions sophistiquées et en illustrant avec des exemples variés. Il traite ainsi :

 

• des groupes jusqu'aux actions de groupes et au théorème de Sylow
• des groupes de matrices en lien avec la géométrie et les formes quadratiques
• des anneaux et des modules en s'attardant sur les idéaux, l'arithmétique et les anneaux de polynômes, ainsi que sur la décomposition des modules sur des anneaux principaux
• de notions variées en théorie des corps

Cours d'algèbre (L3-M1, M. Hindry, ENS Cachan et Paris 7)

Ce cours présente les notions fondamentales d'algèbre sous une forme concise et générale. Il laisse une large place aux groupes : des généralités à la théorie des représentations en passant par la classification des groupes finis et les actions de groupes. Il traite en particulier du groupe symétrique (groupe des permutations) et s'attarde sur les groupes de matrices. Le polycopié donne aussi des résultats généraux sur les anneaux (dont les notions arithmétiques, jusqu'au Nullstellensatz), les corps et les modules (de la décomposition des modules sur un anneau principal aux facteurs invariants de matrice).

Analyse numérique et optimisation (L3-M1, G. Allaire, Ecole Polytechnique)

Ce cours présente les outils mathématiques destinés aux problèmes d'optimisations et d'analyse numérique et donne une introduction à la modélisation mathématique déterministe et à la simulation numérique. Pour cela, il développe des notions assez théoriques d'analyse fonctionnelle, théorie spectrale ou des éléments finis. Pour des compléments et les exercices associés, on renvoie au site de l'auteur.

Pratique de la modélisation statistique (L3-M1, P. Besse, Insa Toulouse)

Ce cours est dédié à la régression (simple et multiple) avec un souci permanent de la mise en oeuvre. De nombreux exemples viennent illustrer les techniques présentées.

Eléments de statistique pour citoyens d'aujourd'hui et managers de demain. (L3-M1, G. Stoltz, HEC)

Ce cours est donné aux étudiants d'une grande école de commerce. Il propose une introduction détaillée aux grandes idées de la statistique (données, modèles, estimation, fourchettes d'erreur, tests) illustrée d'exemples variés. Il s'adresse à des personnes n'ayant pas de formation préliminaire aux statistiques et offre un panorama impressionnant de résultats théoriques, d'interprétations et de points à méditer pour utiliser à bon escient la/les statistique/s. On y trouvera aussi de nombreux sujets et exercices corrigés.

Analyse fonctionnelle et EDP. (L3-M1, G. Carlier, ENS)

Ce cours requiert d'avoir au préalable suivi un cours de topologie. Il commence par une introduction aux espaces vectoriels topologiques localement convexes aboutissant au théorème de Hahn-Banach. Les thématiques abordées dans les chapitres suivants sont l'espace des distributions, les topologies faibles associées à des espaces de Banach, les opérateurs linéaires, compacts et leur décomposition spectrale, les espaces L^p et plus généralement les espaces de mesures. Les deux derniers chapitres du polycopié proposent des théorèmes d'existence, d'unicité et de régularité de solutions d'équations aux dérivées partielles. Exercices ou exams à http://www.ceremade.dauphine.fr/~carlier/teaching.html.

Systèmes dynamiques élémentaires (L3-M1, Y. Benoist et F. Paulin, ENS)

Ces notes de cours introduisent la théorie ergodique des systèmes dynamiques à temps discret. Elle est née de questions fondamentales de mécanique statistique. Un système dynamique à temps discret est donné par un espace X sur lequel agit une transformation T:X-->X : un point x se transforme en un point T(x), qui lui-même se transforme en T(T(x)), etc. Très souvent, il y a une mesure de probabilité privilégiée qui est invariante par T et qui permet par exemple de comprendre quelle est la fréquence de visite asymptotique d'une partie de X par une orbite typique ? C'est l'objet du théorème ergodique. Ces notes développent notamment la notion fondamentale d'entropie et celle de codage d'un système dynamique. De nombreux exercices sont proposés, avec des indications pour leur solution.

Systèmes dynamiques et équations différentielles (L3-M1, C. Viterbo, Ecole Polytechnique)

Ce cours introduit la théorie qualitative des équations différentielles ordinaires, en particulier la stabilité des points d'équilibres et des orbites périodiques (fonctions de Liapounov, théorie de Floquet, théorie des perturbations, etc). Les exemples sont issus de la Mécanique, allant des pendules aux régulateurs de machines à vapeur. Une autre partie du cours introduit la géométrie différentielle, notamment la formule de Stokes. Le texte contient à la fois des exercices d'application et d'approfondissement. Ce cours fait 270 pages. Ce cours complete l'autre et présente une approche différente des systèmes dynamiques que celle du poly “Systèmes dynamiques élémentaires”, sans theorie ergodique.

Statistique exploratoire multidimensionnelle (L2-L3, A. Baccini et P . Besse, Insa Toulouse)

Ce cours présente les méthodes classiques de statistique exploratoire telles que l'analyse en composantes principales, analyse factorielle discriminante, analyse des correspondances, classification, etc. Il possède un bon équilibre entre rigueur mathématique et présentation des outils dans le cadre d'applications concrètes. Des rappels d'algèbre sous fournis en appendice.

Introduction aux Probabilités et aux Statistiques (L3, B. Mselati et F. Benaych-Georges, ENS)

Ce cours était initialement à destinations des économistes. Il donne (rapidement) les éléments de base en proba et en stat.

Cours de probabilités (L3, S. Méléard, Ecole Polytechnique)

Ce cours traite des notions importantes de probabilités : variables discrètes et continues, conditionnement, théorèmes limites, utilisation des fonctions génératrices... Il introduit pour cela au début la notion de tribu et d'additivité dénombrable, mais sans développer la théorie de la mesure. Ce cours permet à la fois de découvrir l'intuition probabiliste et de se familiariser avec le bagage mathématique des probabilités.

Intégration, Probabilités et Processus Aléatoires (L3, J-F. Le Gall, ENS et Orsay)

Ce cours commence par la théorie de la mesure et de l'intégration pour ensuite traiter de la théorie des probabilités dans un cadre assez théorique (variable aléatoire, fonction génératrice et caractéristiques, indépendance, convergence de variable aléatoire). Il donne enfin une bonne introduction aux processus aléatoires importants en probabilités (processus de Markov, martingales, mouvement brownien

Topologie et analyse difféntielle (L3-M1, B. Perthame, ENS)

Ce cours présente les notions fondamentales de topologie (espace métrique, espace topologique, adhérence, intérieur, convergence, complétude, compacité, connexité). Il développe les espaces de Hilbert et les illustrations sur les espaces de fonctions, avec notamment des applications aux transformées de Fourier et aux équations différentielles.

Convexité et applications (L3-M1-agrégation, R. Texier-Picard, ENS Ker Lann). Version provisoire.

Ce polycopié sur la convexité, les notions associées et des applications est encore une version provisoire, mais présente déjà clairement les éléments essentiels. Le cours commence par les aspects topologiques et fonctionnels des parties convexes (enveloppe et jauge d'un convexe, théorème de projection, séparation et points extrémaux.) Le cours traite ensuite les fonctions convexes de façon générale, puis dans le cas différentiable, avant de se focaliser sur les inégalités de convexité et les questions d'extremums.

M1

Fonctions de la variable complexe (L3-M1, L. Desvillettes, ENS Cachan)

Ce cours donné à l'ENS Cachan dans les années 2000 présente la théorie des fonctions holomorphes et des applications en topologie, géométrie et surtout en théorie des nombres, comme le théorème des nombres premiers. Les fonctions holomorphes sont définies comme des fonctions dérivables au sens complexe. Il est ensuite établi ce que cela signifie en terme de fonctions à plusieurs variables réelles (Formules de Cauchy Riemann) et ce que cela implique quand on intègre le long de contours (Formules de Cauchy). Arrivent alors l'analycité et diverses conséquences (surprenantes ?). Il développe enfin la théorie des fonctions méromorphes pour obtenir une formule fondamentale du calcul intégral (le théorème des résidus).

Pratique de la modélisation statistique (L3-M1, P. Besse, Insa Toulouse)

Ce cours est dédié à la régression (simple et multiple) avec un souci permanent de la mise en oeuvre. De nombreux exemples viennent illustrer les techniques présentées.

Analyse fonctionnelle et EDP (L3-M1, G. Carlier, ENS)

Ce cours requiert d'avoir au préalable suivi un cours de topologie. Il commence par une introduction aux espaces vectoriels topologiques localement convexes aboutissant au théorème de Hahn-Banach. Les thématiques abordées dans les chapitres suivants sont l'espace des distributions, les topologies faibles associées à des espaces de Banach, les opérateurs linéaires, compacts et leur décomposition spectrale, les espaces L^p et plus généralement les espaces de mesures. Les deux derniers chapitres du polycopié proposent des théorèmes d'existence, d'unicité et de régularité de solutions d'équations aux dérivées partielles. Exercices ou exams à http://www.ceremade.dauphine.fr/~carlier/teaching.html

Systèmes dynamiques élémentaires (L3-M1, Y. Benoist et F. Paulin, ENS)

Ces notes de cours introduisent la théorie ergodique des systèmes dynamiques à temps discret. Elle est née de questions fondamentales de mécanique statistique. Un système dynamique à temps discret est donné par un espace X sur lequel agit une transformation T:X-->X : un point x se transforme en un point T(x), qui lui-même se transforme en T(T(x)), etc. Très souvent, il y a une mesure de probabilité privilégiée qui est invariante par T et qui permet par exemple de comprendre quelle est la fréquence de visite asymptotique d'une partie de X par une orbite typique ? C'est l'objet du théorème ergodique. Ces notes développent notamment la notion fondamentale d'entropie et celle de codage d'un système dynamique. De nombreux exercices sont proposés, avec des indications pour leur solution.

Systèmes dynamiques et équations différentielles (L3-M1, C. Viterbo, Ecole Polytechnique)

Ce cours introduit la théorie qualitative des équations différentielles ordinaires, en particulier la stabilité des points d'équilibres et des orbites périodiques (fonctions de Liapounov, théorie de Floquet, théorie des perturbations, etc). Les exemples sont issus de la Mécanique, allant des pendules aux régulateurs de machines à vapeur. Une autre partie du cours introduit la géométrie différentielle, notamment la formule de Stokes. Le texte contient à la fois des exercices d'application et d'approfondissement. Ce cours fait 270 pages. Il complète l'autre et présente une approche différente des systèmes dynamiques que celle du poly “Systèmes dynamiques élémentaires”, sans théorie ergodique.

Cours d'arithmétique (M1, M. Hindry, Paris 7)

Les deux premières parties traitent de la théorie algébrique des nombres, avec l'appui des groupes et des anneaux. Elles donnent les algorithmes usuels de test de primalité et les applications en cryptographie et codes correcteurs. Enfin, des équations diophantiennes classiques sont résolues, comme le célèbre théorème de Fermat pour n=3 et 4 ou le théorème des deux carrés. La troisième partie concerne la théorie analytique des nombres, c'est à dire l'utilisation des fonctions dérivables (holomorphes) de la variable complexe pour établir des résultats de théorie des nombres, en particulier sur les séquences de nombres premiers (théorème de Dirichlet) ou l'ordre de grandeur du n ième nombre premier (théorème des nombres premiers)

Cours sur les processus de Markov (M1, E. Pardoux, Université de Provence)

Ce cours donne des résultats généraux et plutôt théoriques sur les chaines ou processus de Markov, en développant beaucoup d'exemples et d'applications en lien avec la génétique, les files d'attente, les algorithmes ou la finance.

Géométrie différentielle élémentaire (M1, F. Paulin, ENS)

Ce polycopié traite dans un premier temps des variétés et des sous-variétés. Ensuite les fibrés vectoriels et tangents et les fibrations sont abordés. Une troisième partie étudie de façon approfondie les champs de vecteurs, puis le feuilletage en vue du théorème de Frobenius. Les correspondances entre groupes et algèbres de Lie sont établies, avec une étude des espaces homogènes. La dernière partie s'intéresse aux formes différentielles et à leur intégration. Elles sont appliquées à la cohomologie de de Rham et à la théorie du degré. De nombreux exemples et figures illustrent ce cours qui est complété par beaucoup d'exercices avec des indications détaillées. Signalons une annexe à la fin donnant des rappels (topologie, action de groupe, calcul différentiel, revêtement, algèbre multilinéaire et homologique).

Modèles aléatoires en écologie et en évolution (M1-M2, S. Méléard, Ecole Polytechnique)

Ce cours développe des outils probabilistes motivés par les sciences du vivant. Après un début en douceur avec les marches aléatoires et les chaînes de Markov, il illustre les notions de processus de Markov et martingale à travers le mouvement Brownien. Il aborde ensuite les diffusions et donne un bon aperçu du calcul stochastique. Puis il traite des processus de sauts à temps continu et des processus de branchement en temps continu ou discret. Enfin, il introduit aux modèles de coalescent pour la génétique des populations.

Statistiques – Préparation à l'agrégation. (M1-M2, V. Rivoirard, Paris 9 Dauphine)

Ce cours est une introduction générale aux statistiques, avec un réel appui sur les probabilités. Il commence par une définition des notions de base, puis décrit des méthodes d'estimation classiques (méthode des moments, du maximum de vraisemblance, établissement de régions/intervalles de confiance). Il aborde ensuite la notion de tests, par exemple le test du Chi-Deux. Puis il traite d'une application aux modèles linéaires et ouvre sur les questions d'analyse de la variance. Ensuite l'aurteur aborde les fonctions de répartition empiriques et le théorème de Glivenko-Cantelli (appliquées à l'estimation non-paramétrique) puis la transformée de Laplace et les grandes déviations. Le dernier chapitre traite de la mesure de la performance d'un estimateur, en particulier de la borne de Cramer-Rao et de la notion d'information de Fisher.

Modélisation statistique et apprentissage (M1-M2, P. Besse, Insa Toulouse)

Ce cours d'apprentissage statistique présente les techniques classiques de régression, choix de modèle et classification. Il couvre un très large spectre des méthodes statistiques usuelles, et chaque méthode est présentée dans le cadre d'une application concrète avec mise en oeuvre sous R(logiciel de statistique gratuit).

Analyse fonctionnelle et analyse harmonique (M1-M2, F. Paulin, Paris 11)

Ce cours aborde dans un premier temps l'analyse fonctionnelle et plus précisément l'étude des opérateurs bornés sur les espaces de Hilbert (réduction, calcul fonctionnel). Comment diagonaliser une application linéaire dans un espace vectoriel complet de dimension infinie muni d'un produit scalaire? Comment calculer sa racine carrée ? Il met dans un second temps l'accent sur le noyau de Poisson et l'opérateur Laplacien et propose plus généralement une introduction aux fonctions harmoniques.

Topologie algébrique élémentaire (M1-M2, F. Paulin, ENS)

La lecture de ce cours demande de solides connaissances de topologie de L3-M1 et un rappel complet avec des exercices est donné à la fin. Tout d'abord les notions de base d'homotopie et de groupe fondamental sont présentées. Le revêtement est abordé et appliqué aux problèmes de relèvement, ce qui aboutit aux définitions de revêtement galoisiens et universels. Tout ceci permet ensuite d'obtenir le théorème de van Kampen et les groupes fondamentaux pour les CW-complexes. Enfin, l'homologie et la cohomologie singulière et cellulaire sont traitées. Les méthodes de calculs sont données (avec la suite exact de Mayer-Vietoris par exemple) et tout ceci est illustré avec de nombreux exemples et applications (théorème de Brouwer, théorème d'Hurewicz,...). Ce polycopié est largement illustré d'exemples et possède de nombreux exercices avec des indications détaillées. Il est autocontenu dans la mesure où tous les rappels nécéssaires sont faits (présentation des groupes, algèbre homologique,...).

Analyse de Fourier (Niveau M1-agrégation, S. Benzoni, Univ. Lyon)

Ce document de cours commence par une revue rapide mais complète des résultats principaux sur les séries de Fourier. On y approfondit la question de la transformée de Fourier en mettant ensuite en évidence les liens avec les séries de Fourier. Les notions sont ensuite utilisées pour des applications aux équations aux dérivées partielles.

Topologie algébrique (M1-M2, A. Prouté, Paris 7)

Le cours présente la topologie algébrique à travers le prisme de la théorie des catégories, ce qui a le mérite d'une certaine universalité. Le cours jongle entre une construction très manuelle des objets qui donnent une intuition et une conviction immédiate, et des interprétations qui ouvrent les portes de résultats plus généraux. Le cours présente de nombreuses illustrations, dessins comme diagrammes, de nombreux exercices et remarques...

Découpé en séances plutôt qu'en chapitres, le texte commence par introduire les bases de la théorie des catégories, sa motivation et ses objets centraux.

La théorie de l'homotopie arrive alors naturellement et de façon “ élémentaire” : les manipulations détaillées de chemins mènent à la notion de groupe fondamental, et le théorème de Seifert-van Kampen donne un moyen théorique satisfaisant de calcul. Les actions de groupes topologiques mènent à la notion de revêtement et ses relations avec le groupe fondamental sont profondément travaillées, donnant en particulier des théorèmes de relèvement. L'étude de cette notion centrale aboutit à la classification des revêtements.

La théorie se développe alors vers la théorie de l'homologie qui représente algébriquement la notion de bord. Cette partie est centrée sur de l'algèbre essentiellement linéaire, et les outils utiles sont introduits pas à pas, notamment les produits tensoriels et la théorie des modules. Plusieurs théorèmes classiques en sont des fruits rapidement cueillis, ainsi le théorème de Brouwer. L'étude se porte ensuite sur l'homologie puis aboutit à la cohomologie et au théorème des coefficients universels, avec de nombreuses ouvertures en guise de conclusion.

Problèmes:

Théorie du renouvellement

Il s'agit surtout d'intégration, avec beaucoup de resultats d'analyse utilisés (convolution, uniforme continuité, analyse fonctionnelle...) et pour objectif de comprendre la répartition asymptotique de points situés à des distances successives indépendantes et identiquement distribuées. Application aux problèmes (et paradoxe) de l'attente du bus.

Algèbre d'opérateur

Représentation des C* algèbres: Le problème commence par de la théorie spectrale et du calcul fonctionnel. Pour faire simple, on manipule ici des applications linéaires en dimension infinie en cherchant leurs valeurs propres (plus généralement leur spectre). On veut appliquer ces opérateurs à des fonctions continues (prendre la racine d'un opérateur par exemple). Le sujet termine par la construction GNS et théorème de Gelfand-Neimark.

M2